Diferenças entre edições de "Paradoxo do aniversário"

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[[Image:BP.jpg|thumb|right|450px|Um gráfico mostrando a probabilidade de que pelo menos duas pessoas tenham a mesma data de aniversário em um certo número de pessoas. A aparência de escada deve-se ao eixo ''x'' que é tomado apenas de valores inteiros, visto que indica o número de pessoas.]]
 
[[Image:BP.jpg|thumb|right|450px|Um gráfico mostrando a probabilidade de que pelo menos duas pessoas tenham a mesma data de aniversário em um certo número de pessoas. A aparência de escada deve-se ao eixo ''x'' que é tomado apenas de valores inteiros, visto que indica o número de pessoas.]]
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Em [[teoria das probabilidades]], o '''paradoxo do aniversário''' afirma que dado um grupo de 23 (ou mais) pessoas escolhidas [[aleatoriedade|aleatoriamente]], a chance de que duas pessoas terão o mesma data de [[aniversário]] é de mais de 50%. Para 57 ou mais pessoas, a probabilidade é maior do que 99%, entretanto, ela não pode ser exatamente 100% exceto que se tenha pelo menos 366 pessoas. Calcular essa [[probabilidade]] (e as relacionas a ela) é o '''problema do aniversário'''. A matemática por trás disso tem sido utilizada executar [[ataque do aniversário]].
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Em [[teoria das probabilidades]], o '''paradoxo do aniversário''' afirma que dado um grupo de 23 (ou mais) pessoas escolhidas [[aleatoriedade|aleatoriamente]], a chance de que duas pessoas terão o mesma data de aniversário é de mais de 50%. Para 57 ou mais pessoas, a probabilidade é maior do que 99%, entretanto, ela não pode ser exatamente 100% exceto que se tenha pelo menos 366 pessoas. Calcular essa [[probabilidade]] (e as relacionas a ela) é o '''problema do aniversário'''.  
  
 
==Calculando a probabilidade==
 
==Calculando a probabilidade==
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Para calcular aproximadamente a probabilidade de que em uma sala com ''n'' pessoas, pelo menos duas possuam o mesmo aniversário, desprezamos variações na distribuição, tais como anos bissextos, gêmeos, variações sazonais ou semanais, e assumimos que 365 possíveis aniversários são todos igualmente prováveis. Distribuições de aniversários na realidade não são uniforme uma vez que as datas não são equiprováveis.<ref>Em particular, muitas crianças nascem no verão, especialmente nos meses de Julho, Agosto e Setembro (para o hemisfério norte) [http://scienceworld.wolfram.com/astronomy/LeapDay.html]; ainda assim, em ambientes como salas de aula onde muitas pessoas partilham a mesma data de aniversário, isso torna-se relevante devido a maneira em que o hospital trabalha, onde partos induzidos ou realizados por cesarianas geralmente não são marcados nos finais de semana, mais crianças nascem na segunda e terça-feira do que nos finais de semana. Ambos fatores tendem a ampliar as chances de aniversários idênticos, visto que um subconjunto mais denso possuem mais pares possíveis</ref>
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Para calcular aproximadamente a probabilidade de que em uma sala com ''n'' pessoas, pelo menos duas possuam o mesmo aniversário, desprezamos variações na distribuição, tais como [[ano bissexto|anos bissextos]], [[gêmeos]], variações sazonais ou semanais, e assumimos que 365 possíveis aniversários são todos igualmente prováveis. Distribuições de aniversários na realidade não são uniforme uma vez que as datas não são equiprováveis.<ref>Em particular, muitas crianças nascem no verão, especialmente nos meses de Julho, Agosto e Setembro (para o [[hemisfério norte]]) [http://scienceworld.wolfram.com/astronomy/LeapDay.html]; ainda assim, em ambientes como salas de aula onde muitas pessoas partilham a mesma data de aniversário, isso torna-se relevante devido a maneira em que o hospital trabalha, onde partos induzidos ou realizados por cesarianas geralmente não são marcados nos finais de semana, mais crianças nascem na segunda e terça-feira do que nos finais de semana. Ambos fatores tendem a ampliar as chances de aniversários idênticos, visto que um subconjunto mais denso possuem mais pares possíveis</ref>
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É mais fácil calcular a probabilidade ''<u style="text-decoration:overline">p</u>''(''n'') do que todos os ''n'' aniversários diferentes. Se ''n'' > 365, pelo [[Princípio da Casa dos Pombos]] esta probabilidade é 0. Por outro lado, se ''n'' ≤ 365, ele é dado por
 
É mais fácil calcular a probabilidade ''<u style="text-decoration:overline">p</u>''(''n'') do que todos os ''n'' aniversários diferentes. Se ''n'' > 365, pelo [[Princípio da Casa dos Pombos]] esta probabilidade é 0. Por outro lado, se ''n'' ≤ 365, ele é dado por
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porque a segunda pessoa não pode ter o mesmo aniversário do que o primeiro (364/365), o terceiro não pode ter o mesmo aniversário do que o segundo (363/365), etc.
  
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Esta probabilidade ultrapassa 1/2 para ''n'' = 23 (com valor aproximado de 50.7%). A seguinte tabela mostra a probabilidade para alguns valores de ''n'' (ignorando anos bissextos como descrito anteriormente):
  
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[[Image:050329-birthday2.png|thumb|right|290px|Um gráfico mostrando precisão da aproximação 1&nbsp;&minus;&nbsp;exp(&minus;''n''<sup>2</sup>/(2&sdot;365)).]]
 
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Very basically, the probability of any two people not having the same birthday is 364/365. In a room of people of size ''N'', there are ''C''(''N'',&nbsp;2) pairs of people, i.e. ''C''(''N'',&nbsp;2) events.  We can approximate the probability of no two people sharing the same birthday by assuming that these events are independent and hence by multiplying their probability together. In short we multiply 364/365 by itself ''C''(''N'',&nbsp;2) times, which gives us
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que, como ilustrado pelo gráfico, ainda possui uma boa precisão.
  
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===Aproximação de Poisson===
 
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Utilizando a aproximação de [[distribuição de Poisson|Poisson]] para a binomial,
 
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Novamente, ela é maior que 50%.
 
Novamente, ela é maior que 50%.
  
 
== Referências ==
 
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* Zoe Emily Schnabel: "The estimation of the total fish population of a lake", ''American Mathematical Monthly'' 45 (1938), pages 348-352
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* Zoe Emily Schnabel: "The estimation of the total fish population of a lake", ''[[American Mathematical Monthly]]'' 45 (1938), pages 348-352
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*  M. Klamkin and D. Newman: "Extensions of the birthday surprise", ''Journal of Combinatorial Theory'' 3 (1967), pages 279-282.
 
*  M. Klamkin and D. Newman: "Extensions of the birthday surprise", ''Journal of Combinatorial Theory'' 3 (1967), pages 279-282.
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* D. Bloom: "A birthday problem", ''[[American Mathematical Monthly]]'' 80 (1973), pages 1141-1142. This problem solution contains a proof that the probability of two matching birthdays is least for a uniform distribution of birthdays.
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* D. Bloom: "A birthday problem", ''American Mathematical Monthly'' 80 (1973), pages 1141-1142. This problem solution contains a proof that the probability of two matching birthdays is least for a uniform distribution of birthdays.
  
 
== Notas ==
 
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==Links relevantes==
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*[http://projects.felipc.com/birthday-paradox/ Uma experiência online demonstrando o paradoxo do aniversário dos utilizadores]
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=={{Ligações externas}}==
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*[http://www.mathcad.com/library/LibraryContent/puzzles/soln28/soln28.html Solução completa para a para 2, 3, e uma generalização para n aniversários coincidentes]
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*[http://projects.felipc.com/birthday-paradox/ Um experimento online demosntrando o paradoxo do aniversário do utilizadores]
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*[http://www.mathcad.com/library/LibraryContent/puzzles/soln28/soln28.html Solução completa para a para 2, 3, e uma generalização para n aniversários coincidentes ]
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*http://www.efgh.com/math/birthday.htm
 
*http://www.efgh.com/math/birthday.htm
 
*http://planetmath.org/encyclopedia/BirthdayProblem.html
 
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{{Wikipedia|Paradoxo_do_aniversário}}
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[[Categoria:Paradoxos]]
 
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[[Categoria:Estatística]]
 
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[[Categoria:Teoria das probabilidades]]
 
[[Categoria:Teoria das probabilidades]]

Revisão das 14h03min de 5 de janeiro de 2009

Um gráfico mostrando a probabilidade de que pelo menos duas pessoas tenham a mesma data de aniversário em um certo número de pessoas. A aparência de escada deve-se ao eixo x que é tomado apenas de valores inteiros, visto que indica o número de pessoas. Em teoria das probabilidades, o paradoxo do aniversário afirma que dado um grupo de 23 (ou mais) pessoas escolhidas aleatoriamente, a chance de que duas pessoas terão o mesma data de aniversário é de mais de 50%. Para 57 ou mais pessoas, a probabilidade é maior do que 99%, entretanto, ela não pode ser exatamente 100% exceto que se tenha pelo menos 366 pessoas. Calcular essa probabilidade (e as relacionas a ela) é o problema do aniversário.

Calculando a probabilidade

Para calcular aproximadamente a probabilidade de que em uma sala com n pessoas, pelo menos duas possuam o mesmo aniversário, desprezamos variações na distribuição, tais como anos bissextos, gêmeos, variações sazonais ou semanais, e assumimos que 365 possíveis aniversários são todos igualmente prováveis. Distribuições de aniversários na realidade não são uniforme uma vez que as datas não são equiprováveis.<ref>Em particular, muitas crianças nascem no verão, especialmente nos meses de Julho, Agosto e Setembro (para o hemisfério norte) [1]; ainda assim, em ambientes como salas de aula onde muitas pessoas partilham a mesma data de aniversário, isso torna-se relevante devido a maneira em que o hospital trabalha, onde partos induzidos ou realizados por cesarianas geralmente não são marcados nos finais de semana, mais crianças nascem na segunda e terça-feira do que nos finais de semana. Ambos fatores tendem a ampliar as chances de aniversários idênticos, visto que um subconjunto mais denso possuem mais pares possíveis</ref>

É mais fácil calcular a probabilidade p(n) do que todos os n aniversários diferentes. Se n > 365, pelo Princípio da Casa dos Pombos esta probabilidade é 0. Por outro lado, se n ≤ 365, ele é dado por


\bar p(n) = 1 \cdot \left(1-\frac{1}{365}\right) \cdot \left(1-\frac{2}{365}\right) \cdots \left(1-\frac{n-1}{365}\right) = { 365 \cdot 364 \cdots (365-n+1) \over 365^n } = { 365! \over 365^n (365-n)!}


porque a segunda pessoa não pode ter o mesmo aniversário do que o primeiro (364/365), o terceiro não pode ter o mesmo aniversário do que o segundo (363/365), etc.

O evento de pelo menos duas pessoas entre n terem o mesmo aniversário é o complementar de todos n serem diferentes. Consequentemente, sua probabilidade p(n) é


p(n) = 1 - \bar p(n) .


Esta probabilidade ultrapassa 1/2 para n = 23 (com valor aproximado de 50.7%). A seguinte tabela mostra a probabilidade para alguns valores de n (ignorando anos bissextos como descrito anteriormente):

n p(n)
10 12%
20 41%
23 50.7%
30 70%
50 97%
100 99.99996%
200 99.9999999999999999999999999998%
300 (1 − 7×10−73) × 100%
350 (1 − 3×10−131) × 100%
366 100%

Aproximações

Utilizando a expansão da série de Taylor para a função exponencial


e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!}+\cdots


Um gráfico mostrando precisão da aproximação 1 − exp(−n2/(2⋅365)). a primeira expressão derivada para p(n) pode ser aproximado a


\bar p(n) \approx 1 \cdot e^{-1/365} \cdot e^{-2/365} \cdots e^{-(n-1)/365}


= 1 \cdot e^{-(1+2+ \cdots +(n-1))/365}


= e^{-(n(n-1))/2 \cdot 365}


Então,


p(n) = 1-\bar p(n) \approx 1 - e^{-(n(n-1))/2 \cdot 365}


Uma outra aproximação a grosso modo é dada por


p(n)\approx 1-e^{-n^2/{2 \cdot 365}},\,


que, como ilustrado pelo gráfico, ainda possui uma boa precisão.

Aproximação de Poisson

Utilizando a aproximação de Poisson para a binomial,


\mathrm{Poi}\left(\frac{C(23, 2)}{365}\right) \approx \mathrm{Poi}\left(\frac{253}{365}\right) \approx \mathrm{Poi}(0.6932)


\Pr(X>0)=1-\Pr(X=0)=1-e^{-0.6932}=1-0.499998=0.500002.


Novamente, ela é maior que 50%.

Referências

  • Zoe Emily Schnabel: "The estimation of the total fish population of a lake", American Mathematical Monthly 45 (1938), pages 348-352
  • M. Klamkin and D. Newman: "Extensions of the birthday surprise", Journal of Combinatorial Theory 3 (1967), pages 279-282.
  • D. Bloom: "A birthday problem", American Mathematical Monthly 80 (1973), pages 1141-1142. This problem solution contains a proof that the probability of two matching birthdays is least for a uniform distribution of birthdays.

Notas

<references />

Links relevantes


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