Medida
Em matemática, uma medida é uma função que atribui um peso aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade.
Índice
Medida positiva
Uma medida positiva num σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função tal que:
, para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.
Os conjuntos de X chamam-se conjuntos mensuráveis.
São consequências directas da definição de medida positiva:
- Positividade:
- Monotonicidade
Exemplos
Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo.
- Medida de Dirac:
- As medidas de Borel e de Lebesgue em
verificam a propriedade
Medida complexa
Uma medida complexa numa σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função tal que:
Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.
Exemplos
- Seja
uma função complexa Lebesgue integrável. Então
define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de
Propriedades
Algumas medidas possuem propriedades adicionais:
Medida completa
- Se
tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)
Medida invariante por translações
, onde
- (contando que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)
Medida de Borel
- Os abertos e portanto todos os conjuntos borelianos são mensuráveis.
Regularidade interior
e
são compactos.
Regularidade exterior
e
são abertos.
Medida finita
- O espaço inteiro tem medida finita.
Medida 
finita
- O espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita.
Medida localmente finita
- Todo compacto é mensurável e tem medida finita
, para todo compacto
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