Diferenças entre edições de "Valor esperado"
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* a variável aleatória X dada por p(X = -1) = p(X = 1) = 1/2 tem valor esperado 0. | * a variável aleatória X dada por p(X = -1) = p(X = 1) = 1/2 tem valor esperado 0. | ||
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Revisão das 15h34min de 12 de dezembro de 2007
Em teoria das probabilidades, o valor esperado (ou esperança, ou expectância) de uma variável aleatória é a soma das probabilidades de cada possibilidade de saída da experiência multiplicada pelo seu valor. Isto é, representa o valor médio "esperado" de uma experiência se ela for repetida muitas vezes. Note-se que o valor em si pode não ser esperado no sentido geral; pode ser improvável ou impossível. Se todos os eventos tiverem igual probabilidade o valor esperado é a média aritmética.
Definição matemática
Para uma variável aleatória discreta X com valores possíveis e com as suas probabilidades representadas pela função
, o valor esperado calcula-se pela série:
desde que a série seja convergente.
Para uma variável aleatória contínua X o valor esperado calcula-se mediante o integral de todos os valores da função de densidade :
Generalizando, seja g uma função que toma valores no espaço amostral de X. Então temos:
e
Deve-se notar que, no caso geral, não comuta com a função g, ou seja:
Para o caso mais geral de ser uma variável aleatória de mais de uma dimensão, e com
assumindo valores em um espaço vetorial normado, temos:
e
em que a integral de Lebesgue é usada.
Exemplos
- a variável aleatória X dada por p(X = -1) = p(X = 1) = 1/2 tem valor esperado 0.
- a variável aleatória X dada por
para n = 1, 2, 3, ... não tem valor esperado.
Operador esperança
O valor esperado de uma combinação linear de variáveis aleatórias é a combinação linear dos seus valores esperados:
Por esse motivo, a função E[] que associa a cada variável aleatória o seu valor esperado é um operador linear, chamado de operador esperança
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