Valor esperado

Da Thinkfn

Em teoria das probabilidades, o valor esperado (ou esperança, ou expectância) de uma variável aleatória é a soma das probabilidades de cada possibilidade de saída da experiência multiplicada pelo seu valor. Isto é, representa o valor médio "esperado" de uma experiência se ela for repetida muitas vezes. Note-se que o valor em si pode não ser esperado no sentido geral; pode ser improvável ou impossível. Se todos os eventos tiverem igual probabilidade o valor esperado é a média aritmética.

Definição matemática

Para uma variável aleatória discreta X com valores possíveis x_1, x_2, x_3, \ldots e com as suas probabilidades representadas pela função p(x_i), o valor esperado calcula-se pela série:

E[X]=\sum_{i=1}^{\infty} x_i p(x_i)

desde que a série seja convergente.

Para uma variável aleatória contínua X o valor esperado calcula-se mediante o integral de todos os valores da função de densidade f(x):

E[X]=\int_{-\infty}^\infty x f(x)dx

Generalizando, seja g uma função que toma valores no espaço amostral de X. Então temos:

E[g(X)]=\sum_{i=1}^{\infty} g(x_i) p(x_i)

e

E[g(X)]=\int_{-\infty}^\infty g(x) f(x)dx

Deve-se notar que, no caso geral, \mathbf{E}\, não comuta com a função g, ou seja:

E[g(X)] \neq g(E[X])\,

Para o caso mais geral de \mathbf{X}\, ser uma variável aleatória de mais de uma dimensão, e com \mathbf{g}\, assumindo valores em um espaço vetorial normado, temos:

E[\mathbf{g}(\mathbf{X})]=\sum_{i=1}^{\infty} p(\mathbf{x_i}) \mathbf{g}(\mathbf{x_i})\,

e

E[\mathbf{g}(\mathbf{X})]=\int_{\Omega} \mathbf{g} dP\,

em que a integral de Lebesgue é usada.

Exemplos

  • a variável aleatória X dada por p(X = -1) = p(X = 1) = 1/2 tem valor esperado 0.
  • a variável aleatória X dada por p(X = (-10)^n) = (1/2)^n\, para n = 1, 2, 3, ... não tem valor esperado.

Operador esperança

O valor esperado de uma combinação linear de variáveis aleatórias é a combinação linear dos seus valores esperados:

E[a X + b Y] = a E[X] + b E[Y]\,

Por esse motivo, a função E[] que associa a cada variável aleatória o seu valor esperado é um operador linear, chamado de operador esperança


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