Mostrar código-fonte de Paradoxo do aniversário

[[Image:BP.jpg|thumb|right|450px|Um gráfico mostrando a probabilidade de que pelo menos duas pessoas tenham a mesma data de aniversário em um certo número de pessoas. A aparência de escada deve-se ao eixo ''x'' que é tomado apenas de valores inteiros, visto que indica o número de pessoas.]]
Em [[teoria das probabilidades]], o '''paradoxo do aniversário''' afirma que dado um grupo de 23 (ou mais) pessoas escolhidas [[aleatoriedade|aleatoriamente]], a chance de que duas pessoas terão o mesma data de aniversário é de mais de 50%. Para 57 ou mais pessoas, a probabilidade é maior do que 99%, entretanto, ela não pode ser exatamente 100% exceto que se tenha pelo menos 366 pessoas. Calcular essa [[probabilidade]] (e as relacionas a ela) é o '''problema do aniversário'''. 

==Calculando a probabilidade==
Para calcular aproximadamente a probabilidade de que em uma sala com ''n'' pessoas, pelo menos duas possuam o mesmo aniversário, desprezamos variações na distribuição, tais como anos bissextos, gêmeos, variações sazonais ou semanais, e assumimos que 365 possíveis aniversários são todos igualmente prováveis. Distribuições de aniversários na realidade não são uniforme uma vez que as datas não são equiprováveis.<ref>Em particular, muitas crianças nascem no verão, especialmente nos meses de Julho, Agosto e Setembro (para o hemisfério norte) [http://scienceworld.wolfram.com/astronomy/LeapDay.html]; ainda assim, em ambientes como salas de aula onde muitas pessoas partilham a mesma data de aniversário, isso torna-se relevante devido a maneira em que o hospital trabalha, onde partos induzidos ou realizados por cesarianas geralmente não são marcados nos finais de semana, mais crianças nascem na segunda e terça-feira do que nos finais de semana. Ambos fatores tendem a ampliar as chances de aniversários idênticos, visto que um subconjunto mais denso possuem mais pares possíveis</ref>

É mais fácil calcular a probabilidade ''<u style="text-decoration:overline">p</u>''(''n'') do que todos os ''n'' aniversários diferentes. Se ''n'' > 365, pelo [[Princípio da Casa dos Pombos]] esta probabilidade é 0. Por outro lado, se ''n'' ≤ 365, ele é dado por


:<tex>\bar p(n) = 1 \cdot \left(1-\frac{1}{365}\right) \cdot \left(1-\frac{2}{365}\right)  \cdots \left(1-\frac{n-1}{365}\right) = { 365 \cdot 364 \cdots (365-n+1) \over 365^n } = { 365! \over 365^n (365-n)!}</tex>


porque a segunda pessoa não pode ter o mesmo aniversário do que o primeiro (364/365), o terceiro não pode ter o mesmo aniversário do que o segundo (363/365), etc.

O [[evento (teoria das probabilidades)|evento]] de pelo menos duas pessoas entre ''n'' terem o mesmo aniversário é o complementar de todos ''n'' serem diferentes. Consequentemente, sua probabilidade ''p''(''n'') é


:<tex> p(n) = 1 - \bar p(n) .</tex>


Esta probabilidade ultrapassa 1/2 para ''n'' = 23 (com valor aproximado de 50.7%). A seguinte tabela mostra a probabilidade para alguns valores de ''n'' (ignorando anos bissextos como descrito anteriormente):

{| class="wikitable"
!''n''!!''p''(''n'')
|-
|10 || 12%
|-
|20 || 41%
|-
|23 || 50.7%
|-
|30 || 70%
|-
|50 || 97%
|-
|100 || 99.99996%
|-
|200 || 99.9999999999999999999999999998%
|-
|300 || (1 &minus; 7×10<sup>&minus;73</sup>) × 100%
|-
|350 || (1 &minus; 3×10<sup>&minus;131</sup>) × 100%
|-
|366 || 100%
|}

==Aproximações==
Utilizando a expansão da [[série de Taylor]] para a função exponencial


:<tex> e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!}+\cdots </tex>


[[Image:050329-birthday2.png|thumb|right|290px|Um gráfico mostrando precisão da aproximação 1&nbsp;&minus;&nbsp;exp(&minus;''n''<sup>2</sup>/(2&sdot;365)).]]
a primeira expressão derivada para ''<u style="text-decoration:overline">p</u>''(''n'') pode ser aproximado a


::<tex>\bar p(n) \approx 1 \cdot e^{-1/365} \cdot e^{-2/365} \cdots e^{-(n-1)/365}  </tex>


::<tex>= 1 \cdot e^{-(1+2+ \cdots +(n-1))/365}</tex>


::<tex>= e^{-(n(n-1))/2 \cdot 365}</tex>


Então,


:<tex> p(n) = 1-\bar p(n) \approx 1 - e^{-(n(n-1))/2 \cdot 365}</tex>


Uma outra aproximação a grosso modo é dada por


:<tex>p(n)\approx 1-e^{-n^2/{2 \cdot 365}},\,</tex>


que, como ilustrado pelo gráfico, ainda possui uma boa precisão.

===Aproximação de Poisson===

Utilizando a aproximação de [[distribuição de Poisson|Poisson]] para a binomial,


:<tex>\mathrm{Poi}\left(\frac{C(23, 2)}{365}\right) \approx \mathrm{Poi}\left(\frac{253}{365}\right) \approx \mathrm{Poi}(0.6932)</tex>


:<tex>\Pr(X>0)=1-\Pr(X=0)=1-e^{-0.6932}=1-0.499998=0.500002.</tex>


Novamente, ela é maior que 50%.

== Referências ==
* Zoe Emily Schnabel: "The estimation of the total fish population of a lake", ''American Mathematical Monthly'' 45 (1938), pages 348-352
*  M. Klamkin and D. Newman: "Extensions of the birthday surprise", ''Journal of Combinatorial Theory'' 3 (1967), pages 279-282.
* D. Bloom: "A birthday problem", ''American Mathematical Monthly'' 80 (1973), pages 1141-1142. This problem solution contains a proof that the probability of two matching birthdays is least for a uniform distribution of birthdays.

== Notas ==
{{reflist}}

==Links relevantes==
*[http://projects.felipc.com/birthday-paradox/ Uma experiência online demonstrando o paradoxo do aniversário dos utilizadores]
*[http://www.mathcad.com/library/LibraryContent/puzzles/soln28/soln28.html Solução completa para a para 2, 3, e uma generalização para n aniversários coincidentes]
*http://www.efgh.com/math/birthday.htm
*http://planetmath.org/encyclopedia/BirthdayProblem.html
*Eric W. Weisstein, [http://mathworld.wolfram.com/BirthdayProblem.html Birthday Problem] no MathWorld
*[http://www.nestel.net/maple/bd/bd.html Maple vs. paraxdoxo do aniversário]
*[http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/Birthday.html Probability by Surprise Birthday Applet] An animation for simulating the birthday paradox.
*[http://www.damninteresting.com/?p=402 A humorous article explaining the paradox]
*[http://www.excelexchange.com/Birthday%20Problem.xls The Birthday Problem Spreadsheet]


{{Wikipedia|Paradoxo do aniversário}}

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