Diferenças entre edições de "Medida"

Revisão das 16h54min de 9 de janeiro de 2008

Em matemática, uma medida é uma função que atribui um peso aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade.

Medida positiva

Uma medida positiva num σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função tal que:

• 
• , para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Os conjuntos de X chamam-se conjuntos mensuráveis.

São conseqüências diretas da definição de medida postiva:

• Positividade:

• Monotonicidade

Exemplos

• Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo.
  • Medida de Dirac:

  

  
  

  • As medidas de Borel e de Lebesgue em verificam a propriedade

  Medida complexa

  Uma medida complexa numa σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função tal que:

  • 
  • , para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

  Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.

  Exemplos

  • Seja uma função complexa Lebesgue integrável. Então

  define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de

  
  

  
  

  Propriedades

  Algumas medidas possuem propriedades adicionais:

  • Medida completa:

  Se tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)

  • Medida invariante por translações:

  , onde

  (contanto que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)

  • Medida de Borel:

  Os abertos e portanto todos os conjuntos borelianos são mensuráveis.

  • Regularidade interior:

  e são compactos.

  • Regularidade exterior:

  e são abertos.

  • Medida finita: o espaço inteiro tem medida finita.

  

  • Medida finita: o espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita.

  

  • Medida localmente finita: todo compacto é mensurável e tem medida finita

  , para todo compacto

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