Diferenças entre edições de "Medida"

Edição atual desde as 07h55min de 14 de novembro de 2008

Em matemática, uma medida é uma função que atribui um peso aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade.

Índice

1 Medida positiva
- 1.1 Exemplos
2 Medida complexa
- 2.1 Exemplos
3 Propriedades

Medida positiva

Uma medida positiva num σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função $\mu:X\to[0,\infty]\,\!$ tal que:

$\mu(\emptyset)=0$

$\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)$ , para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Os conjuntos de X chamam-se conjuntos mensuráveis.

São consequências directas da definição de medida positiva:

Positividade:

$\mu(E)\ge 0,~~\forall E\in X\,$

Monotonicidade

$A\subseteq B\Longrightarrow \mu(A) \leq \mu(B),~~~\forall A,B \in X\,$

Exemplos

$\mu(E)=\left\{\begin{array}{ll}0,&E=\emptyset\\1,&E=S\end{array}\right.$

Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo.

Medida de Dirac:

$\delta_{x_0}(E)=\left\{\begin{array}{ll}1,&x_0\in E\\0,&c.c.\end{array}\right.$

As medidas de Borel e de Lebesgue em $\R$ verificam a propriedade $\lambda[a,b]=b-a\,\!$

Medida complexa

Uma medida complexa numa σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função $\mu:X\to\mathbb{C}\,\!$ tal que:

$\mu(\emptyset)=0$

$\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)$ , para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.

Exemplos

Seja $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}\,$ uma função complexa Lebesgue integrável. Então

$\nu(E):=\int_E f(x)d\mu\,$ define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de $\mathbb{R}.$

Propriedades

Algumas medidas possuem propriedades adicionais:

Medida completa

Se $Z\,$ tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)

Medida invariante por translações

$\mu(A+\lambda)=\mu(A),~~ \forall A\in X\,$ , onde $A+\lambda=\{x+\lambda:x\in A\}$

(contando que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)

Medida de Borel

Os abertos e portanto todos os conjuntos borelianos são mensuráveis.

Regularidade interior

$\mu(A)=\sup_{K\subseteq A}\mu(K),~~\forall A \in X$ e $K\,$ são compactos.

Regularidade exterior

$\mu(A)=\inf_{A\subseteq V}\mu(V),~~\forall A \in X$ e $V\,$ são abertos.

Medida finita

O espaço inteiro tem medida finita.

$\mu(S)<\infty\,$

Medida $\sigma-$ finita

O espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita.

$S=\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n,~~\mu(E_n)<\infty$

Medida localmente finita

Todo compacto é mensurável e tem medida finita

$\mu(K)<\infty\,$ , para todo compacto $K\,$

Esta página usa conteúdo da Wikipedia. O artigo original estava em Medida (matemática). Tal como o Think Finance neste artigo, o texto da Wikipedia está disponível segundo a GNU Free Documentation License.

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-Em [[matemática]], uma '''medida''' é uma função que atribui um peso aos subconjuntos de um conjunto ''S''. Quando a medida é positiva e a medida de ''S'' é 1, diz-se que a medida é uma [[probabilidade]].
+Em matemática, uma '''medida''' é uma função que atribui um peso aos subconjuntos de um conjunto ''S''. Quando a medida é positiva e a medida de ''S'' é 1, diz-se que a medida é uma [[probabilidade]].
 ==Medida positiva==
-Uma '''medida positiva''' num [[σ-algebra]] ''X'' sobre um [[conjunto]] ''S'' é uma função <tex>\mu:X\to[0,\infty]\,\!</tex> tal que:
+Uma '''medida positiva''' num σ-algebra ''X'' sobre um conjunto ''S'' é uma função <tex>\mu:X\to[0,\infty]\,\!</tex> tal que:
 *<tex>\mu(\emptyset)=0</tex>
-*<tex> \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)</tex>, para qualquer colecção [[enumerável]] de conjuntos de ''X'', [[Conjuntos disjuntos|disjuntos]] dois a dois.
+*<tex> \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)</tex>, para qualquer colecção enumerável de conjuntos de ''X'', disjuntos dois a dois.
 Os conjuntos de ''X'' chamam-se '''conjuntos mensuráveis'''.
-São conseqüências diretas da definição de medida postiva:
+São consequências directas da definição de medida positiva:
 *'''Positividade''':
 :<tex>\mu(E)\ge 0,~~\forall E\in X\,</tex>
 *'''Monotonicidade'''
 :<tex>A\subseteq B\Longrightarrow \mu(A) \leq \mu(B),~~~\forall A,B \in X\,</tex>
 ===Exemplos===
-*<tex>\mu(E)=\left\{
-\begin{array}{ll}
+*<tex>\mu(E)=\left\{\begin{array}{ll}0,&E=\emptyset\\1,&E=S\end{array}\right.</tex>
-,&E=\emptyset\\
-,&E=S
-\end{array}
-\right.</tex>
 Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo.
 *Medida de Dirac:
-:<tex>\delta_{x_0}(E)=\left\{
-\begin{array}{ll}
-,&x_0\in E\\
-,&c.c.
-\end{array}
-\right.</tex>
-*As medidas de [[medida de Borel|Borel]] e de [[medida de Lebesgue|Lebesgue]] em <tex>\R</tex> verificam a propriedade <tex>\lambda[a,b]=b-a\,\!</tex>
+:<tex>\delta_{x_0}(E)=\left\{\begin{array}{ll}1,&x_0\in E\\0,&c.c.\end{array}\right.</tex>
+*As medidas de Borel e de Lebesgue em <tex>\R</tex> verificam a propriedade <tex>\lambda[a,b]=b-a\,\!</tex>
 ==Medida complexa==
-Uma '''medida complexa''' numa [[σ-algebra]] ''X'' sobre um [[conjunto]] ''S'' é uma função <tex>\mu:X\to\mathbb{C}\,\!</tex> tal que:
+Uma '''medida complexa''' numa σ-algebra ''X'' sobre um conjunto ''S'' é uma função <tex>\mu:X\to\mathbb{C}\,\!</tex> tal que:
 *<tex>\mu(\emptyset)=0</tex>
-*<tex> \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)</tex>, para qualquer colecção [[enumerável]] de conjuntos de ''X'', [[Conjuntos disjuntos|disjuntos]] dois a dois.
-Em especial, a soma desta [[série (matemática)|série]] é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.
+*<tex> \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)</tex>, para qualquer colecção enumerável de conjuntos de ''X'', disjuntos dois a dois.
+Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.
 ===Exemplos===
-*Seja <tex>f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}\,</tex> uma [[função complexa]] [[integral de Lebesgue|Lebesgue integrável]]. Então
-:<tex>\nu(E):=\int_E f(x)d\mu\,</tex> define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de <tex>\mathbb{R}.</tex>
+*Seja <tex>f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}\,</tex> uma função complexa Lebesgue integrável. Então
+:<tex>\nu(E):=\int_E f(x)d\mu\,</tex> define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de <tex>\mathbb{R}.</tex>
 ==Propriedades==
 Algumas medidas possuem propriedades adicionais:
-*'''Medida completa''':
+===Medida completa===
 :Se <tex>Z\,</tex> tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)
-*'''Medida invariante por translações''':
+===Medida invariante por translações===
 :<tex>\mu(A+\lambda)=\mu(A),~~ \forall A\in X\,</tex>, onde <tex>A+\lambda=\{x+\lambda:x\in A\}</tex>
-(contanto que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)
-*'''Medida de Borel''':
-:Os abertos e portanto todos os [[Álgebra de Borel|conjuntos borelianos]] são mensuráveis.
-*'''Regularidade interior''':
+:(contando que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)
+===Medida de Borel===
+:Os abertos e portanto todos os conjuntos borelianos são mensuráveis.
+===Regularidade interior===
 :<tex>\mu(A)=\sup_{K\subseteq A}\mu(K),~~\forall A \in X</tex> e <tex>K\,</tex> são compactos.
-*'''Regularidade exterior''':
+===Regularidade exterior===
 :<tex>\mu(A)=\inf_{A\subseteq V}\mu(V),~~\forall A \in X</tex> e <tex>V\,</tex> são abertos.
-*'''Medida finita''': o espaço inteiro tem medida finita.
+===Medida finita===
+:O espaço inteiro tem medida finita.
 :<tex>\mu(S)<\infty\,</tex>
-*'''Medida <tex>\sigma-</tex>finita''': o espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita.
+===Medida <tex>\sigma-</tex>finita===
+:O espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita.
 :<tex>S=\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n,~~\mu(E_n)<\infty</tex>
-*'''Medida localmente finita''': todo compacto é mensurável e tem medida finita
+===Medida localmente finita===
+:Todo compacto é mensurável e tem medida finita
 :<tex>\mu(K)<\infty\,</tex>, para todo compacto <tex>K\,</tex>
-{{Wikipedia|Medida_(matemática)}}
-[[Categoria:Teoria da medida]]
-[[Categoria:Estatística]]
+{{Wikipedia|Medida (matemática)}}
-[[Categoria:Teoria das probabilidades]]
+[[Categoria:Estatística]][[Categoria:Teoria das probabilidades]]

Diferenças entre edições de "Medida"

Edição atual desde as 07h55min de 14 de novembro de 2008

Índice

Medida positiva

Exemplos

Medida complexa

Exemplos

Propriedades

Medida completa

Medida invariante por translações

Medida de Borel

Regularidade interior

Regularidade exterior

Medida finita

Medida $\sigma-$ finita

Medida localmente finita

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