Diferenças entre edições de "Medida"

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Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.  
 
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===Exemplos===
 
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*Seja <tex>f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}\,</tex> uma [[função complexa]] [[integral de Lebesgue|Lebesgue integrável]]. Então
 
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:<tex>\nu(E):=\int_E f(x)d\mu\,</tex> define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de <tex>\mathbb{R}.</tex>
 
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==Propriedades==
 
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Algumas medidas possuem propriedades adicionais:
 
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*'''Medida completa''':
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:Se <tex>Z\,</tex> tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)
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Se <tex>Z\,</tex> tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)
  
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(contanto que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)
 
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*'''Medida finita''': o espaço inteiro tem medida finita.
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Revisão das 13h28min de 11 de outubro de 2008

Em matemática, uma medida é uma função que atribui um peso aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade.

Medida positiva

Uma medida positiva num σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função \mu:X\to[0,\infty]\,\! tal que:

  • \mu(\emptyset)=0
  • \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i), para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Os conjuntos de X chamam-se conjuntos mensuráveis.

São consequências directas da definição de medida positiva:

  • Positividade:
\mu(E)\ge 0,~~\forall E\in X\,
  • Monotonicidade
A\subseteq B\Longrightarrow \mu(A) \leq \mu(B),~~~\forall A,B \in X\,

Exemplos

  • \mu(E)=\left\{\begin{array}{ll}0,&E=\emptyset\\1,&E=S\end{array}\right.

Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo.

  • Medida de Dirac:
\delta_{x_0}(E)=\left\{\begin{array}{ll}1,&x_0\in E\\0,&c.c.\end{array}\right.


Medida complexa

Uma medida complexa numa σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função \mu:X\to\mathbb{C}\,\! tal que:

  • \mu(\emptyset)=0
  • \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i), para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.

Exemplos

\nu(E):=\int_E f(x)d\mu\, define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de \mathbb{R}.

Propriedades

Algumas medidas possuem propriedades adicionais:

Medida completa

Se Z\, tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)

Medida invariante por translações

\mu(A+\lambda)=\mu(A),~~ \forall A\in X\,, onde A+\lambda=\{x+\lambda:x\in A\}

(contanto que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)

Medida de Borel

Os abertos e portanto todos os conjuntos borelianos são mensuráveis.

Regularidade interior

\mu(A)=\sup_{K\subseteq A}\mu(K),~~\forall A \in X e K\, são compactos.

Regularidade exterior

\mu(A)=\inf_{A\subseteq V}\mu(V),~~\forall A \in X e V\, são abertos.

Medida finita

O espaço inteiro tem medida finita.

\mu(S)<\infty\,

Medida \sigma-finita

O espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita.

S=\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n,~~\mu(E_n)<\infty

Medida localmente finita

Todo compacto é mensurável e tem medida finita

\mu(K)<\infty\,, para todo compacto K\,


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