Diferenças entre edições de "Método dos mínimos quadrados"
(→{{Ver também}}) |
|||
| Linha 1: | Linha 1: | ||
| − | O '''Método dos Mínimos Quadrados''' é uma técnica de [[optimização]] | + | O '''Método dos Mínimos Quadrados''' é uma técnica de [[optimização]] matemática que procura encontrar o melhor ajustamento para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre a [[curva]] ajustada e os dados (tais diferenças são chamadas [[resíduos]]). |
Um [[requisito]] [[implícito]] para o [[método dos mínimos quadrados]] trabalhar é que os [[erros]] em cada medida sejam [[distribuição aleatória|distribuídos aleatoriamente]] com [[função densidade]] [[gaussiana]], e que os resíduos sejam [[independentes]]. O [[Teorema Gauss-Markov]] garante (embora indiretamente) que o [[estimador]] de mínimos quadrados [[EMQ]] é o estimador [[viés| não-viesado]] de [[desigualdade de cramèr-rao|variância mínima]] [[linear]] na variável resposta. | Um [[requisito]] [[implícito]] para o [[método dos mínimos quadrados]] trabalhar é que os [[erros]] em cada medida sejam [[distribuição aleatória|distribuídos aleatoriamente]] com [[função densidade]] [[gaussiana]], e que os resíduos sejam [[independentes]]. O [[Teorema Gauss-Markov]] garante (embora indiretamente) que o [[estimador]] de mínimos quadrados [[EMQ]] é o estimador [[viés| não-viesado]] de [[desigualdade de cramèr-rao|variância mínima]] [[linear]] na variável resposta. | ||
Revisão das 21h24min de 3 de março de 2008
O Método dos Mínimos Quadrados é uma técnica de optimização matemática que procura encontrar o melhor ajustamento para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre a curva ajustada e os dados (tais diferenças são chamadas resíduos).
Um requisito implícito para o método dos mínimos quadrados trabalhar é que os erros em cada medida sejam distribuídos aleatoriamente com função densidade gaussiana, e que os resíduos sejam independentes. O Teorema Gauss-Markov garante (embora indiretamente) que o estimador de mínimos quadrados EMQ é o estimador não-viesado de variância mínima linear na variável resposta.
A técnica dos mínimos quadrados é comumente usada em ajuste de curvas. Muitos outros problemas de otimização podem também ser expressos na forma dos mínimos quadrados, por minimização (energia) ou maximização (entropia).
O método dos mínimos quadrados ordinários é a forma de estimação mais amplamente utilizada na econometria. Consiste em um estimador que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos da regressão, de forma a maximizar o grau de ajuste do modelo.(R²)
Índice
Formulação do Problema
Suponha que o conjunto de dados consiste dos pontos (xi, yi) com i = 1, 2, ..., n. Nós desejamos encontrar uma função f tal que
Para se obter tal função, nós supomos que a função f é de uma forma particular contendo alguns parâmetros que necessitam ser determinados. Por exemplo, supor que ela é quadrática, significa que f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c não são conhecidos. Nós agora procuramos os valores de a, b e c que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos:
Isto explica o nome mínimos quadrados. Este método é devido ao ilustre matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), que o descreveu aos dezoito anos (1795). Mais tarde, Adrien-Marie Legendre (1805) introduziu contribuições ao método em seu Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes.
Resolvendo o problema dos mínimos quadrados
No exemplo acima, f é linear nos parâmetros a, b e c. O problema simplifica consideravelmente neste caso e reduz-se essencialmente a um sistema de equações lineares (mínimos quadrados lineares).
O problema é mais difícil se f não é linear nos parâmetros a serem determinados. Nós então necessitamos resolver um problema de otimização geral. Algum algoritmo para resolver tal problema, como método de Newton e gradiente descendente, pode ser usado. Outra possibilidade é aplicar um algoritmo que foi desenvolvido especialmente para cuidar do problema dos mínimos quadrados, tais como o algoritmo de Gauss-Newton ou o algoritmo Levenberg-Marquardt.
Mínimos quadrados e análise de regressão
Ver também
Links relevantes
- ((en)) http://www.physics.csbsju.edu/stats/least_squares.html
- ((en)) http://www.zunzun.com
- ((en)) http://www.orbitals.com/self/least/least.htm
|
Esta página usa conteúdo da Wikipedia. O artigo original estava em Método_dos_mínimos_quadrados. Tal como o Think Finance neste artigo, o texto da Wikipedia está disponível segundo a GNU Free Documentation License. |
