|
|
| Linha 1: |
Linha 1: |
| − | '''Kriging''', também muitas vezes traduzido como '''Krigagem''', é um método de [[regressão]] usado em [[geoestatística]] para aproximar ou interpolar dados. A teoria de Kriging foi desenvolvida a partir dos trabalhos do seu inventor, Daniel G. Krige, pelo matemático francês Georges Matheron, no começo dos anos sessenta. Na comunidade estatística, também é conhecido como “Processo Gaussiano de Regressão”. A estimação com base em apenas um atributo insere-se no âmbito da Kriging; a estimação de um atributo à custa de outros atributos insere-se no âmbito da Cokriging. | + | '''COMUNICADO Nº 01''' |
| | | | |
Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home1/thinkfnw/public_html/wiki/includes/diff/DairikiDiff.php on line 390
| − | = Introdução =
| + | : '''Thorn Gilts''' |
| − | '''Kriging''' pode ser entendido como uma ''predição linear'' ou uma forma da [[Inferência bayesiana]]. Parte do princípio que ''pontos próximos no espaço tendem a ter valores mais parecidos do que pontos mais afastados''.
| + | : '''Rightsideclub''' |
| − | A técnica de '''Kriging''' assume que os dados recolhidos de uma determinada população se encontram correlacionados no espaço. Isto é, se num aterro de resíduos tóxicos e perigosos a concentração de Zinco num ponto '''p''' é '''x''', é muito provável que se encontrem resultados muito próximos de '''x''' quanto mais próximos se estiver do ponto '''p''' (princípio da [[geoestatística]]). Porém, a partir de determinada distância de '''p''', certamente não se encontrarão valores aproximados de '''x''' porque a correlação espacial pode deixar de existir.
| + | : '''Simulador Humano''' |
| − | | + | : '''Rui Resende''' |
| − | Considera-se o método de '''Kriging''' do tipo '''BLUE''' ('''B'''est '''L'''inear '''U'''nbiased '''E'''stimator - Melhor Estimador Linear não-Viciado): é linear porque as suas estimativas são combinações lineares ponderadas dos dados existentes; é não enviezada pois procura que a média dos erros (desvios entre o valor real e o valor estimado) seja nula; é a melhor porque os erros de estimação apresentam uma [[variância]] (variância de estimação) mínima.
| + | : '''RR economics''' |
| − | O termo '''Kriging''' abrange um conjunto de métodos, sendo os mais usuais os seguintes:
| + | : '''Market Maker''' |
| − | | + | : '''Orson Vaughn'''. |
| − | = Tipos de Kriging =
| + | |
| − | | + | |
| − | ==Kriging Simples==
| + | |
| − | Assume que as médias locais são relativamente constantes e de valor muito semelhante à média da população que é conhecida. A média da população é utilizada para cada estimação local, em conjunto com os pontos vizinhos estabelecidos como necessários para a estimação.
| + | |
| − | | + | |
| − | ==Kriging Ordinário==
| + | |
| − | As médias locais não são necessáriamente próximas da média da população usando-se apenas os pontos vizinhos para a estimação. É o método mais usado em problemas ambientais.
| + | |
| − | | + | |
| − | ==Cokriging==
| + | |
| − | É uma extensão do anterior a situações em que duas ou mais variáveis são espacialmente dependentes e a variável que se quer estimar não está amostrada com a intensidade com que estão as outras variáveis dependentes, utilizando-se os valores destas e as suas dependências para estimar a variável requerida.
| + | |
| − | | + | |
| − | = Conceitos matemáticos =
| + | |
| − | O '''Método de Kriging''' utiliza-se de diversas teorias explanadas na [[estatística]]. No entanto, para deixarmos mais claras as teorias de estatística usadas e mais direcionadas ao escopo deste texto, explicaremos alguns conceitos.
| + | |
| − | ==Semi-variância e semi-variograma==
| + | |
| − | [[Imagem:variograma-exemplo.png|thumb|300px|Variograma]]
| + | |
| − | A '''semi-variância''' é a medida do grau de dependência espacial entre duas amostras. A magnitude da semi-variância entre dois pontos depende da distância entre eles, implicando em semi-variâncias menores para distâncias menores e semi-variâncias maiores para distâncias maiores. O gráfico das semi-variâncias em função da distância a um ponto é chamado de '''Semi-variograma'''. A partir de uma certa distância a semi-variância não mais aumentará com a distância e se estabilizará num valor igual à ''variância média'', dando a esta região o nome de '''silo''' (''sill''). A distância entre o início do semi-variograma e o começo do silo recebe o nome de '''''range'''''. Ao extrapolarmos a curva do semi-variograma para a distância zero, podemos chegar a um valor não-nulo de semi-variância. Este valor recebe o nome de '''Efeito Pepita''' (''Nugget Effect'').
| + | |
| − | | + | |
| − | ==Modelos de Variograma==
| + | |
| − | No '''Método de Kriging''' normalmente são usados quatro tipos de '''variogramas'''. Neles, são usadas as seguintes variáveis:
| + | |
| − | :<tex>v\,</tex>: variância
| + | |
| − | :<tex>c_0\,</tex>: ''nugget''
| + | |
| − | :<tex>a\,</tex>: silo
| + | |
| − | :<tex>c_0+c\,</tex>: variância assintótica
| + | |
| − | :<tex>h\,</tex>: distância de separação
| + | |
| − | ===Linear===
| + | |
| − | Este modelo não apresenta '''silo''' e é muito simples. Sua curva pode ser representada por:
| + | |
| − | :<tex>v= c_0+ch\,</tex> | + | |
| − | | + | |
| − | ===Esférico===
| + | |
| − | A forma esférica é a mais utilizada e possui silo. Sua forma é definida por:
| + | |
| − | :<tex>v=\begin{cases} c_0+c[1.5(\frac{h}{a})-0.5(\frac{h}{a})^3], & \mbox{se }h<a \\ c_0+c, & \mbox{se } h>a\end{cases}</tex>
| + | |
| − | ===Exponencial===
| + | |
| − | A curva do variograma exponencial respeita a seguinte equação:
| + | |
| − | :<tex>v=c_0+c (1-e^\frac{-h}{b})\,</tex>
| + | |
| − | ===Gaussiano===
| + | |
| − | A forma gaussiana é dada por:
| + | |
| − | :<tex>v=\begin{cases} c_0+c(1-e^\frac{-h^2}{a^2}), & \mbox{se }h<a \\ c_0+c, & \mbox{se } h>a\end{cases}</tex>
| + | |
| − | | + | |
| − | = O Método de Kriging =
| + | |
| − | ==Determinação do Semivariograma==
| + | |
| − | Toma-se como base a simulação de um sistema de duas dimensões (2D) que contém um número finito de pontos onde é possível a medição de uma grandeza qualquer. Após a adquisição destes dados, iniciar-se-á a interpolação por Kriging buscando alcançar uma maior resolução. O primeiro passo é construir um '''semivariograma experimental'''. Para tal, calcula-se a semivariância de cada ponto em relação aos demais e insere-se no gráfico da semivariância pela distância.
| + | |
| − | :<tex>v(h=d_{ip})=\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n}(f_i-f_p)^2</tex> | + | |
| − | A partir deste gráfico estima-se o modelo de variograma que melhor se aproxima da curva obtida. O efeito pepita pode estar presente no semivariograma experimental e deve ser considerado. Determinado o modelo do semivariograma a ser usado, inicia-se a fase de cálculos. Sendo o semivariograma uma função que depende da direção, é natural que apresente valores diferentes conforme a direção, recebendo este fenômeno o nome de '''Anisotropia'''. Caso o semivariograma apresente uma forma semelhante em todas as direções do espaço, só dependendo de h, diz-se que a estrutura é '''Isotrópica''', ''i. e.'', sem direções privilegiadas de variabilidade.
| + | |
| − | | + | |
| − | ==Cálculo dos Pesos==
| + | |
| − | Considere, para o cálculo do '''Kriging''', a seguinte fórmula:
| + | |
| − | :<tex>F(x,y)=\sum_{i=1}^{n}w_if_i</tex>
| + | |
| − | onde <tex>n</tex> é o número de amostras obtidas, <tex>f_i</tex> é o valor obtido no ponto <tex>i</tex> e <tex>w_i</tex> é o peso designado ao ponto <tex>i</tex>.
| + | |
| − | A fim de obter os pesos de cada um dos <tex>n</tex> pontos, para cada um deles é realizado um cálculo de <tex>w_1, w_2, ..., w_n</tex>. Tal procedimento depende do tipo de '''Kriging''' que está sendo utilizado. Salienta-se a seguinte notação:
| + | |
| − | :<tex>w_j\,</tex>: peso do ''j-ésimo'' ponto | + | |
| − | :<tex>S(d_{ij})\,</tex>: valor da semi-variância de <tex>d_{ij}</tex>
| + | |
| − | :<tex>\lambda\,</tex>: variável temporária
| + | |
| − | | + | |
| − | ===Kriging Ordinário===
| + | |
| − | Neste caso é utilizado a média local dos pontos amostrados. Por conseguinte, deve-se normalizar a média dos pesos. Consequentemente, tem-se um resultado mais preciso do que o Kriging Simples. Utilizar-se-ão as seguintes equações para a determinação dos valores dos pesos no ''p-ésimo'' ponto:
| + | |
| − | :<tex>\begin{cases}w_1S(d_{11})+w_2S(d_{12})+...+w_nS(d_{1n})+\lambda=S(d_{1p})\\w_1S(d_{21})+w_2S(d_{22})+...+w_nS(d_{2n})+\lambda=S(d_{2p})\\ \wr \\w_nS(d_{n1})+w_2S(d_{n2})+...+w_nS(d_{nn})+\lambda=S(d_{np}) \\w_1+w_2+...+w_n=1\end{cases}</tex>
| + | |
| − | | + | |
| − | ===Kriging Simples===
| + | |
| − | Para este caso, utiliza-se a média de todos os dados. Implica-se, portanto, em não se normalizar a média local dos pesos, como no caso anterior. Assim, teremos quase que a mesma equação, exceto pela exclusão de <tex>\lambda</tex> e pela última equação. A característica principal deste método é a geração de gráficos mais lisos e mais esteticamente suaves. Deve-se salientar que este caso é menos preciso que o caso anterior. Os valores dos pesos para o ''p-ésimo'' ponto serão dados por:
| + | |
| − | :<tex>\begin{cases}w_1S(d_{11})+w_2S(d_{12})+...+w_nS(d_{1n})=S(d_{1p}) \\w_1S(d_{21})+w_2S(d_{22})+...+w_nS(d_{2n})=S(d_{2p}) \\ \wr \\w_nS(d_{n1})+w_2S(d_{n2})+...+w_nS(d_{nn})=S(d_{np})\end{cases}</tex>
| + | |
| − | | + | |
| − | ==Obtendo o Ponto Interpolado==
| + | |
| − | Ao obtermos os valores de <tex>w_1, w_2, ..., w_n</tex>, calcula-se o valor de <tex>f_p</tex>:
| + | |
| − | :<tex>f_p=w_1f_1+w_2f_2+...+w_nf_n\,</tex>
| + | |
| − | Desta maneira, calcula-se o valor interpolado para todos os pontos desejados. Ressalta-se que somente devem ser utilizados os valores adquiridos acima.
| + | |
| − | ==Interpolando Outros Pontos==
| + | |
| − | A obtenção do valor interpolado em um outro ponto requer a repetição de todos os cálculos realizados a partir da obtenção do modelo de variograma. Desta forma, para aumentarmos a resolução que é pretendida, deve-se recorrer à métodos matemáticos para a resolução computacional. Diversos códigos foram desenvolvidos para esta resolução, mas um dos melhores algoritmos pode ser obtido no link abaixo. Ele fora desenvolvido inicialmente para a linguagem Fortran, porém ele foi recodificado para C com a ajuda da biblioteca '''fortran2c''' e se apresenta totalmente em C:
| + | |
| − | *[http://www.nbb.cornell.edu/neurobio/land/OldStudentProjects/cs490-94to95/clang/kriging.html Kriging Interpolation Algorithm in C]
| + | |
| − | | + | |
| − | =Links relevantes=
| + | |
| − | *[http://www.dpi.inpe.br/spring/usuario/krigeagem.htm SPRING - Geoestatística - Krigeagem]
| + | |
| − | *[http://gasa.dcea.fct.unl.pt/gasa/tig/AulaT5/Geoestatistica.htm Modelos de Dados Geográficos]
| + | |
| − | *[http://www.ems-i.com/gmshelp/Interpolation/Interpolation_Schemes/Kriging/Kriging.htm Kriging(ems-i)]
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | {{Wikipedia|Kriging}}
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Categoria:Estatística]]
| + | |
