Diferenças entre edições de "Desigualdade de Chebyshev"

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Em matemática, a '''desigualdade de Chebyshev''' é um resultado da [[teoria da medida]] com grandes aplicações na [[teoria das probabilidades]]. O nome é dado´em honra ao matemático russo Pafnuty Chebyshev quem primeiro apresentou uma demonstração ao teorema.
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Em matemática, a '''desigualdade de Chebyshev''' é um resultado da teoria da medida com grandes aplicações na [[teoria das probabilidades]]. O nome é dado´em honra ao matemático russo Pafnuty Chebyshev quem primeiro apresentou uma demonstração ao teorema.
  
 
==Enunciado==
 
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Seja <tex>\left(X,\mathfrak{M},\mu\right)\,</tex> um [[espaço de medida]], <tex>f:X\to [-\infty,+\infty]\,</tex> uma [[função mensurável]], <tex>g:Im(f)\to[-\infty,+\infty]\,</tex> uma função mensurável não-negativa e não decrescente. Então:
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Seja <tex>\left(X,\mathfrak{M},\mu\right)\,</tex> um espaço de medida, <tex>f:X\to [-\infty,+\infty]\,</tex> uma função mensurável, <tex>g:Im(f)\to[-\infty,+\infty]\,</tex> uma função mensurável não-negativa e não decrescente. Então:
 
:<tex>\mu\left(\left\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\right\}\right) \leq {1\over g(t)} \int_X g\circ f\, d\mu.</tex>
 
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Um [[caso particular]] de especial interesse acontece quando substituimos <tex>f\,</tex> por <tex>|f-c|\,</tex> e tomamos <tex>g:[0,\infty]\to\mathbb{R}\,</tex> como <tex>g(x)=x^2\,</tex>:
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Um caso particular de especial interesse acontece quando substituimos <tex>f\,</tex> por <tex>|f-c|\,</tex> e tomamos <tex>g:[0,\infty]\to\mathbb{R}\,</tex> como <tex>g(x)=x^2\,</tex>:
 
:<tex>\mu\left(\left\{x\in X\,:\,\,|f(x)-c|\geq t\right\}\right) \leq {1\over t^2} \int_X |f-c|^2\, d\mu.</tex>
 
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==Demonstração==
 
==Demonstração==
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Defina  <tex>A_t:=\{x\in X: f(x)\geq t\}\,</tex> e seja <tex>\Chi_{A_t}\,</tex> a [[função indicadora]] de <tex>A_t\,</tex> em <tex>[-\infty,+\infty]\,</tex>. Então:
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Defina  <tex>A_t:=\{x\in X: f(x)\geq t\}\,</tex> e seja <tex>\Chi_{A_t}\,</tex> a função indicadora de <tex>A_t\,</tex> em <tex>[-\infty,+\infty]\,</tex>. Então:
 
:<tex>0\leq g(t) 1_{A_t}\leq g\circ f\,1_{A_t}\leq g\circ f\,</tex>
 
:<tex>0\leq g(t) 1_{A_t}\leq g\circ f\,1_{A_t}\leq g\circ f\,</tex>
 
E, portanto:
 
E, portanto:

Revisão das 17h40min de 28 de setembro de 2008

Em matemática, a desigualdade de Chebyshev é um resultado da teoria da medida com grandes aplicações na teoria das probabilidades. O nome é dado´em honra ao matemático russo Pafnuty Chebyshev quem primeiro apresentou uma demonstração ao teorema.

Enunciado

Seja \left(X,\mathfrak{M},\mu\right)\, um espaço de medida, f:X\to [-\infty,+\infty]\, uma função mensurável, g:Im(f)\to[-\infty,+\infty]\, uma função mensurável não-negativa e não decrescente. Então:

\mu\left(\left\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\right\}\right) \leq {1\over g(t)} \int_X g\circ f\, d\mu.

Um caso particular de especial interesse acontece quando substituimos f\, por |f-c|\, e tomamos g:[0,\infty]\to\mathbb{R}\, como g(x)=x^2\,:

\mu\left(\left\{x\in X\,:\,\,|f(x)-c|\geq t\right\}\right) \leq {1\over t^2} \int_X |f-c|^2\, d\mu.

Se f\, representa uma distribuição de probabilidade com média \mu\, e desvio padrão \sigma\, então:

\Pr(\left|X-\mu\right|\geq k\sigma)\leq\frac{1}{k^2}\,

Demonstração

Defina A_t:=\{x\in X: f(x)\geq t\}\, e seja \Chi_{A_t}\, a função indicadora de A_t\, em [-\infty,+\infty]\,. Então:

0\leq g(t) 1_{A_t}\leq g\circ f\,1_{A_t}\leq g\circ f\,

E, portanto:

g(t)\mu(A_t)=\int_X g(t)1_{A_t}\,d\mu\leq\int_{A_t} g\circ f\,d\mu\leq\int_X g\circ f\,d\mu\,

E o resultado segue dividindo a desigualdade obtida por g(t)\,.


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