Desigualdade de Chebyshev

Da Thinkfn

Em matemática, a desigualdade de Chebyshev é um resultado da teoria da medida com grandes aplicações na teoria das probabilidades. O nome é dado´em honra ao matemático russo Pafnuty Chebyshev quem primeiro apresentou uma demonstração ao teorema.

Enunciado

Seja \left(X,\mathfrak{M},\mu\right)\, um espaço de medida, f:X\to [-\infty,+\infty]\, uma função mensurável, g:Im(f)\to[-\infty,+\infty]\, uma função mensurável não-negativa e não decrescente. Então:


\mu\left(\left\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\right\}\right) \leq {1\over g(t)} \int_X g\circ f\, d\mu.


Um caso particular de especial interesse acontece quando substituimos f\, por |f-c|\, e tomamos g:[0,\infty]\to\mathbb{R}\, como g(x)=x^2\,:


\mu\left(\left\{x\in X\,:\,\,|f(x)-c|\geq t\right\}\right) \leq {1\over t^2} \int_X |f-c|^2\, d\mu.


Se f\, representa uma distribuição de probabilidade com média \mu\, e desvio padrão \sigma\, então:


\Pr(\left|X-\mu\right|\geq k\sigma)\leq\frac{1}{k^2}\,


Demonstração

Defina A_t:=\{x\in X: f(x)\geq t\}\, e seja \Chi_{A_t}\, a função indicadora de A_t\, em [-\infty,+\infty]\,. Então:


0\leq g(t) 1_{A_t}\leq g\circ f\,1_{A_t}\leq g\circ f\,


E, portanto:


g(t)\mu(A_t)=\int_X g(t)1_{A_t}\,d\mu\leq\int_{A_t} g\circ f\,d\mu\leq\int_X g\circ f\,d\mu\,


E o resultado segue dividindo a desigualdade obtida por g(t)\,.


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