Desigualdade de Chebyshev
Em matemática, a desigualdade de Chebyshev é um resultado da teoria da medida com grandes aplicações na teoria das probabilidades. O nome é dado´em honra ao matemático russo Pafnuty Chebyshev quem primeiro apresentou uma demonstração ao teorema.
Enunciado
Seja um espaço de medida,
uma função mensurável,
uma função mensurável não-negativa e não decrescente. Então:
Um caso particular de especial interesse acontece quando substituimos por
e tomamos
como
:
Se representa uma distribuição de probabilidade com média
e desvio padrão
então:
Demonstração
Defina e seja
a função indicadora de
em
. Então:
E, portanto:
E o resultado segue dividindo a desigualdade obtida por .
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