Diferenças entre edições de "Progressão geométrica"
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Revisão das 14h07min de 2 de abril de 2008
Uma progressão geométrica (P.g. ou P.G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante . Esta constante é chamada razão da progressão geométrica. A letra q foi escolhida por ser inicial da palavra quociente.
- Exemplos*
Alguns exemplos de progressão geométrica:
- , onde
- , onde
- , onde
- , onde
- , onde
Índice
Definição por recursão e fórmula do termo geral
Costuma-se denotar por n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial e sua razão q.
A sucessão dos termos é obtida por recursão:
É fácil demonstrar por indução matemática que:
Em alguns contextos (por exemplo, ao usar a linguagem de programação C), pode ser conveniente considerar que o termo inicial da PG tem índice zero (). Neste caso, o termo geral fica:
De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:
Soma dos termos de uma P.G.
A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por:
- , veja notação de somatório
Demonstração
Essa fórmula pode ser deduzida do seguinte modo. Escreva:
Multiplique por q:
Subtraia a primeira soma da segunda, cancelando os termos repetidos:
o que é equivalente a:
Divida ambas os termos por: : e o resultado segue.
Soma dos infinitos termos de uma P.G.
A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando . Sua soma é:
Agora, se e então sua soma é mais infinito e se e , sua soma é menos infinito.
Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Observe cuidadosamente o caso , por exemplo. Observe também que pode ser complexo
Produto dos termos de uma P.G.
O produto dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é dada por:
Classificação das progressões geométricas
As P.G. podem ser classificadas em cinco grupos conforme o valor de q.
Progressão geométrica constante
Uma progressão geométrica constante é toda progressão geométrica em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão q tem que, caso a1 diferente de 0(zero), ser sempre 1 ou 0 (nulo).
Exemplos de progressão geométrica constante:
- P.g.(1,1,1,1,1,1,1,1,1,...) - razão q = 1
- P.g.(0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão nula ou indeterminada
Progressão geométrica crescente
Uma progressão geométrica crescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre positiva e maior que 1.
Exemplos de progressão geométrica crescente:
- P.G. (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,...) - razão q = 2
- P.G. (2,6,18,54,162,486,1458,4374,13122,...) - razão q = 3
Progressão geométrica decrescente
Uma progressão geométrica decrescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre positiva e diferente de zero.
Exemplos de progressão geométrica decrescente:
- P.G. (-1,-2,-4,-8,-16,-32,-64,-128,-256,-512,-1024,-2048,-4096,...) - razão q = 2
- P.G. (8,4,2,1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...) - razão q = 1/2
Progressão geométrica oscilante
Uma progressão geométrica oscilante (ou alternante) é toda progressão geométrica em que todos os termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos tem sempre sinais opostos, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre negativa e diferente de zero.
Exemplos de progressão geométrica oscilante:
- P.G. (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...) - razão q = -2
- P.G. (1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,...) - razão q = -1
Progressão geométrica quase nula
Uma progressão geométrica quase nula é toda progressão geométrica em que o primeiro termo é diferente de zero e todos os demais são iguais a zero, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre igual a zero.
Exemplos de progressão geométrica quase nula:
- P.G. (8,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão q = 0
- P.G. (-169,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão q = 0
Progressão Aritmética Geométrica
Uma progressão aritmética geométrica é o produto de uma progressão aritmética por uma progressão geométrica.
O interessante, neste caso, é obter uma fórmula geral para a soma de n termos.
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