Valorização de opções

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Modelos de valorização

É possível estimar o valor de uma opção usando várias técnicas quantitativas, baseadas no conceito de neutralidade face ao risco, usando o cálculo estocástico. O modelo mais básico é o de Black-Scholes. Modelos mais sofisticados são usados para modelar o efeito sorriso da volatilidade. Estes modelos são criados usando várias técnicas numéricas.[1] Em geral, os modelos padronizados de valorização de opções dependem dos seguintes factores:

  • o preço de mercado actual do activo subjacente,
  • o preço de exercício (strike) da opção, particularmente em relação ao preço de mercado actual do subjacente,
  • o custo de manter uma posição no subjacente, incluíndo juros e dividendos,
  • o tempo que resta até ao vencimento, em conjunto com quaisquer restrições quanto à data em que a opção pode ser exercida, e
  • uma estimativa da volatilidade futura do preço do subjacente durante o tempo de vida da opção.

Modelos mais avançados podem necessitar de factores adicionais, tais como estimativas da forma como a volatilidade se altera ao longo do tempo e para vários patamares de preço do subjacente, ou a dinâmica das taxas de juro estocásticas.

Seguem-se algumas das principais técnicas de valorização usadas na prática para avaliar contratos de opções.

Black Scholes

Crystal Clear app xmag.png Ver artigo principal: Black-Scholes.

O modelo de Black-Scholes foi a primeira técnica quantitativa a estimar de forma completa e precisa o preço para uma variedade de contratos de opções simples. Empregando a técnica de construir uma carteira isenta de risco que replica os retornos obtidos ao deter uma opção, Fischer Black e Myron Scholes produziram uma solução para o preço teórico duma opção europeia.[2] Ao mesmo tempo, o modelo gera parâmetros de cobertura necessários para uma gestão efectiva do risco da detenção de opções. Embora as ideias por detrás da Black-Scholes tenham sido inovadoras e tenham eventualmente resultado na atribuição do Prémio Nobel da Economia a Myron Scholes e Robert Merton, a aplicação do modelo à negociação real de opções é problemática devido aos seus pressupostos de pagamento contínuo (ou do não pagamento) de dividendos, de volatilidade constante e de uma taxa de juro constante. No entanto, o modelo de Black-Scholes é ainda largamente utilizado em trabalhos académicos e em muitas aplicações financeiras onde o erro do modelo se encontra dentro das margens de tolerância.[3]

Modelos estocásticos de volatilidade

Crystal Clear app xmag.png Ver artigo principal: Modelo Heston.

Desde o crash de 1987, tem sido observado que a volatilidade implícita de mercado é tipicamente maior para as opções com preço de exercício (strike) reduzido do que para aquelas com preço de exercício elevado. Isto sugere que a volatilidade é estocástica, variando tanto em função do tempo como do nível de preço do activo subjacente. Modelos de volatilidade estocástica têm sido desenvolvidos, incluindo um elaborado por S. L. Heston.[4] Uma das principais vantagens do Modelo Heston é que pode ser resolvido em forma analítica, enquanto outros modelos de volatilidade estocástica exigem modelos numéricos complexos.[4]

Implementação dos modelos

Depois de se ter escolhido um modelo de valorização de opções, existem várias técnicas de implementação desse modelo num modelo matemático.

Técnicas analíticas

Nalguns casos, pode tomar-se o modelo matemático e, usando métodos analíticos, desenvolver soluções de "forma fechada" [Nota: vide nota supra]. As soluções resultantes são úteis por serem de cálculo rápido.

Modelo binomial de avaliação

Seguindo de perto a derivação de Black e de Scholes, John Cox, Stephen Ross e Mark Rubinstein desenvolveram a versão original do modelo binomial de avaliação de opções.[5] [6] Este, modela a variação do valor teórico da opção para intervalos de tempo discretos durante a duração da opção. O modelo começa com uma árvore binomial dos possíveis preços futuros discretos do activo subjacente. Construindo uma carteira sem risco de uma opção e acção (tal como no modelo Black-Scholes) uma fórmula simples pode ser usada para encontrar o preço da opção em cada nó da árvore. Este valor pode-se aproximar do valor teórico produzido pela Black-Scholes, com qualquer grau de precisão desejado. No entanto, o modelo binomial é considerado mais preciso do que a Black-Scholes porque é mais flexível. Por exemplo, pagamentos discretos de dividendos futuros podem ser correctamente modelados nos devidos passos de tempo futuros, e as opções Americanas podem ser modeladas tão bem como as Europeias. Os modelos binomiais são muito utilizados pelos traders profissionais de opções.

Modelos de Monte Carlo

Crystal Clear app xmag.png Ver artigo principal: Método de Monte Carlo.

Para muitas classes de opções, as técnicas de valorização tradicionais são inexequíveis devido à complexidade do instrumento. Nestes casos, uma abordagem Monte Carlo pode muitas vezes ser útil. Em vez de tentar resolver as equações diferenciais de movimento que descrevem o valor da opção em relação ao preço do activo subjacente, um modelo Monte Carlo determina o valor da opção para um conjunto de cenários económicos gerados aleatoriamente. O conjunto de amostras resultante indica um valor esperado para a opção.

Modelos de diferença finita

As equações usadas para valorizar opções podem frequentemente ser expressas em termos de equações diferenciais parciais e, uma vez expressas desta forma, um modelo de diferença finita pode ser derivado.

Outros modelos

Outras implementações numéricas que têm sido usadas para valorizar opções incluem métodos de elementos finitos.

Referências

  1. ((en)) Reilly, Frank K.; Brown, Keith C. (2003), [Investment Analysis and Portfolio Management {{{3}}}] () (7ª ed.), Thomson Southwestern, Capítulo 23 
  2. ((en)) Black, Fischer and Myron S. Scholes. "The Pricing of Options and Corporate Liabilities," Journal of Political Economy, 81 (3), 637-654 (1973).
  3. ((en)) Hull, John C. (2005), [Options, Futures and Other Derivatives {{{3}}}] () (6ª ed.), Prentice-Hall, ISBN 0131499084 
  4. 4,0 4,1 ((en)) Jim Gatheral (2006). The Volatility Surface, A Practitioner's Guide. Wiley Finance. ISBN 978-0471792512.
  5. ((en)) Cox JC, Ross SA e Rubinstein M. 1979. Options pricing: a simplified approach, Journal of Financial Economics, 7:229-263.[1]
  6. ((en)) Cox, John C.; Rubinstein, Mark (1985), [Options Markets {{{3}}}] (), Prentice-Hall, Capítulo 5