Regressão linear

Em estatística, regressão linear é um método para se estimar a condicional (valor esperado) de uma variável y, dados os valores de algumas outras variáveis x.

A regressão, em geral, trata da questão de se estimar um valor condicional esperado.

A regressão linear é chamada "linear" porque se considera que a relação da resposta às variáveis é uma função linear de alguns parâmetros. Os modelos de regressão que não são uma função linear dos parâmetros se chamam modelos de regressão não-linear.

Índice

1 Equação da Regressão Linear
- 1.1 Cálculo dos factores e
  - 1.1.1 Desenvolvimento
  - 1.1.2 Memorização
- 1.2 Intervalos de confiança
2 Bibliografia

Equação da Regressão Linear

Para se estimar o valor esperado, usa-se de uma equação, que determina a relação entre ambas as variáveis.

$Y_i = \alpha + \beta \, X_i + \epsilon_i$

Em que:

$Y_i$ - Variável explicada (dependente); é o valor que se quer atingir;

$\alpha$ - É uma constante, que representa a intercepção da recta com o eixo vertical;

$\beta$ - É outra constante, que representa o declive da recta;

$X_i$ - Variável explicativa (independente), representa o factor explicativo na equação;

$\epsilon_i$ - Variável que inclui todos os factores residuais mais os possíveis erros de medição. O seu comportamento é aleatório, devido à natureza dos factores que encerra. Para que essa fórmula possa ser aplicada, os erros devem satisfazer determinadas hipóteses, que são: serem variáveis normais, com a mesma variância $\sigma^2\,$ (desconhecida), independentes e independentes da variável explicativa X.

Cálculo dos factores $\alpha$ e $\beta$

$\hat{\alpha}=\frac{\sum \,X^2 \sum Y -\sum \,(X Y) \, \sum X}{n \, \sum_\,X^2-(\sum X)^2}$

$\hat{\beta}=\frac{n \sum \,(X Y)-\sum X \, \sum Y}{n \, \sum_\,X^2-(\sum X)^2}$

Definindo $\overline{X} = \frac {\sum X} {n}$ e $\overline{Y} = \frac {\sum Y} {n}$ , temos que $\hat{\alpha}$ e $\hat{\beta}$ se relacionam por:

$\hat{\alpha}=\overline{Y}-\hat{\beta} \, \overline{X}$

Desenvolvimento

O objectivo é determinar $\alpha$ e $\beta$ de forma que a soma dos quadrados dos erros seja mínima, ou seja, devemos minimizar

$\sum (Y_i \, - \, \beta \, X_i \, - \, \alpha)^2$

Desenvolvendo este quadrado e eliminando os termos constantes (ou seja, aqueles que não têm termos em $\alpha$ e $\beta$ , chega-se a:

$\beta^2 \, \sum X^2 \, + \, n \, \alpha^2 \, - \, 2 \, \beta \sum (X Y) \, - \, 2 \, \alpha \, \sum Y \, + \, 2 \, \alpha \, \beta \, \sum X$

A partir desse ponto, pode-se resolver usando-se cálculo (tomando as derivadas parciais, etc), ou através de uma transformação de coordenadas:

$\alpha \, = \, \alpha_1 \, - \, \frac { \sum X } { n } \, \beta$

ou

$\alpha \, = \, \alpha_1 \, - \, \beta \, \overline{X}$

Transformando a expressão a ser minimizada em:

$\beta^2 \, \sum X^2 \, + \, n \, \alpha_1^2 \, - \, 2 \, \alpha_1 \, \beta \, \sum X + \frac { (\sum X)^2 } { n } \, \beta^2 - \, 2 \, \beta \sum (X Y) \, - \, 2 \, \alpha_1 \, \sum Y \, + \, 2 \, \overline{X} \, \sum Y \, \beta \, + \, 2 \, \alpha_1 \, \beta \, \sum X \, - \, 2 \, \frac {(\sum X)^2 } { n } \, \beta^2$

ou

$\beta^2 \, \sum X^2 \, + \, n \, \alpha_1^2 \, - \frac { (\sum X)^2 } { n } \, \beta^2 - \, 2 \, \beta \sum (X Y) \, - \, 2 \, \alpha_1 \, \sum Y \, + \, 2 \, \overline{X} \, \sum Y \, \beta$

Esta expressão se separa na soma de duas expressões quadráticas independentes, que podem ser minimizadas usando matemática elementar:

$n \, \alpha_1^2 \, - \, 2 \, \alpha_1 \, \sum Y$

$\beta^2 \, \sum X^2 \, - \frac { (\sum X)^2 } { n } \, \beta^2 - \, 2 \, \beta \sum (X Y) \, + \, 2 \, \frac { \sum X \sum Y } { n } \, \beta$

Cujos valores minimizadores são:

$\alpha_1 \, = \, \frac { \sum Y } { n }$

$\alpha \, = \, \overline{Y} \, - \, \overline{X} \, \beta$

$\beta \, = \, \frac { n \, \sum (X Y) - \sum X \sum Y } { n \, \sum X^2 - (\sum X)^2 }$

Memorização

Uma forma fácil de memorizar esta expressão é escrever:

$Y = \alpha + X \beta$

$XY = X \alpha + X^2 \beta$

e, em seguida, somar as colunas:

$\sum Y = n \alpha + \sum X \beta$

$\sum (XY) = \sum X \alpha + \sum (X^2) \beta$

Intervalos de confiança

O valor estimato de $\beta\,$ , $\hat{\beta}\,$ , deve ser analisado através da distribuição t de Student, porque

$t = \frac {(\hat{\beta} - \beta) \ \sqrt{n - 2} \ \sqrt{\sum(X_i - \overline{X})^2}} {\sqrt{\sum \hat{\epsilon_i}^2}},$

tem a distribuição t de Student com n-2 graus de liberdade (ver Fisher, R. A. (1925). "Applications of "Student's" distribution". Metron 5: 90–104.), em que:

$\hat{\epsilon_i} = Y_i - \hat{\beta} \ X_i - \hat{\alpha}\,$

A variância de $\epsilon_i\,$ , $\sigma^2\,$ pode ser estimada através dos erros observados:

$\chi_{n-2}^2 = \frac {\sum \hat{\epsilon_i}^2} {\sigma^2}$

se distribui como uma Chi quadrado com n-2 graus de liberdade.

Bibliografia

REIS, E., Estatistica Descritiva (2ª ed.). Lisboa: Edições Sílabo, 1994

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