Paradoxo de São Petersburgo

O paradoxo de São Petersburgo é um dos mais famosos dos paradoxos em probabilidade. Foi publicado pela primeira vez em 1738 em um artigo pelo matemático Daniel Bernoulli embora tenha sido introduzido pelo seu primo Nicolau I Bernoulli em 1713.

O problema é o seguinte: suponhamos que Pedro e Paulo concordam em jogar um jogo de cara ou coroa. Se o primeiro lance dá cara, Paulo dará uma moeda a Pedro; se o primeiro lance dá coroa e o segundo dá cara, Paulo dará a Pedro duas moedas. Se cara só aparece no terceiro lance, Pedro receberá quatro moedas. Em resumo, se só aparece cara no n-ésimo lance, Pedro recebe 2 elevado a n-1 moedas. Então, quanto deve Pedro pagar a Paulo pelo privilégio de jogar tal jogo?

O senso comum sugere uma soma finita muito modesta, mas a inacreditável resposta para esta pergunta é que Pedro pode pagar a Paulo qualquer quantia, digamos um milhão de moedas, por cada jogo e ainda esperar sair como vencedor. Em qualquer jogo simples, a probabilidade de Pedro ganhar uma moeda é 1/2, de ganhar 2 moedas é 1/4, de ganhar 4 moedas é 1/8 e assim por diante. Então, o total que Pedro pode esperar ganhar é dado pela série que tem soma infinita. Ou seja, não importa qual quantia (finita) Pedro pague a Paulo por cada jogo, ele sempre ganhará se for realizado um número suficiente de jogos. Para tanto estamos assumindo que o capital de Paulo e o número de jogos que os dois podem jogar são ilimitados. Quando Georges-Louis Leclerc fez um teste empírico do caso, achou que em 2084 jogos Paulo teria pago a Pedro 10057 moedas. Isso indica que em qualquer jogo a esperança de Paulo, em vez de ser infinita, na verdade é algo inferior a 5 moedas, já que 5 × 2084 = 10420.

Diversas explicações foram dadas para o paradoxo durante o século XVIII, embora algumas pessoas tenham preferido, como solução do paradoxo, observar que o problema é inerentemente impossível pois a fortuna de Paulo é necessariamente finita, portanto ele não poderia pagar as somas ilimitadas que poderiam ser necessárias no caso de uma longa demora no aparecimento de cara.

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