Lei dos grandes números
A Lei dos Grandes Números (LGN) é um conceito fundamental em probabilidade, que declara:
Se um evento de probabilidade p é observado repetidamente durante independentes repetições, a razão da frequência observada deste evento para o total numero de repetições converge em direcção a p conforme o numero de repetições se torna arbitrariamente grande.
Mais simplesmente, conforme uma experiência é repetida várias vezes, a probabilidade observada aproxima-se da presente (ou real) probabilidade.
O conceito, como usado em probabilidade e estatísticas, tem aplicações práticas na ciência, economia, agricultura, produção, negócios, e outras actividades importantes. Por exemplo, se não soubermos a probabilidade de algum evento natural (digamos, a probabilidade de chover), ou se não conhecemos a fracção de alguma população que satisfaz uma condição (tal como quantas partes defeituosas foram produzidas numa linha de montagem) nós podemos descobrir esta probabilidade ou esta percentagem através de numerosas observações e experiências suficientes.
Índice
Origens do termo
Jakob Bernoulli descreveu primeiramente a LGN de forma tão simples que até os homens mais estúpidos instintivamente sabem que é verdade [1] A despeito disso, ele levou mais de 20 anos para desenvolver uma prova matemática rigorosa o suficiente, o qual publicou em Ars Conjectandi (A arte da conjetura) em 1713. Ele o chamou de seu "Teorema Dourado", mas se tornou geralmente conhecido como "Teorema de Bernoulli". Em 1835, S.D. Poisson mais adiante descreveu sob o nome de La loi de grands nombres (A Lei dos Grandes Números).[2].
Depois que Bernoulli e Poisson publicaram suas tentativas, outros matemáticos também contribuíram para o refinamento da lei, incluindo Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli, Kolmogorov, Vapnik e Chervonenkis. Estes novos estudos deram vida a 2 proeminentes formas da Lei dos Grandes Números. Um é chamado de lei "fraca" e outra de lei "forte". Estas formas não definem leis diferentes, mas modos diferentes de representar a convergência da probabilidade medida ou observada, para a probabilidade real.
Probabilidade
A Lei dos Grandes Números é chamada de "o primeiro teorema fundamental de probabilidade". Foi derivado da analise de jogos de azar -- sorteio de bilhetes de loteria ou arremesso de dados são regidos por probabilidade. Por exemplo, um dado "limpo" de 6 lados pode aparecer 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 pontos numa única jogada e se esses pontos são contados como números, é possível calcular o valor "médio" de cada lance.
Nós sabemos que em muitos lances, um lance em seis resultara num "1". Do mesmo modo, um lance em seis resultará em "2" e assim vai em todos os 6 lances possíveis. Contando os resultados numericamente, obtemos:
Obviamente, não existe um lado do dado com 3,5 pontos, logo nenhum lance irá resultar no valor de "3.5". Mas depois de um grande numero de lances são registrados, o resultado médio de todos eles irá se aproximar de 3,5.
Ademais, em cada lance do dado, uma soma de cada vez que um particular resultado ocorra ("1", "2", "3", "4", "5" or "6") irá, de modo crescente, aproximar-se de 1/6 do numero total de lances.
Estatísticas
A LGN foi derivada por meio de análise probabilística. Estatísticas evoluem da teoria da probabilidade, e em estatística, LGN significa que é mais provável que uma amostra grande tenha a característica do todo do que uma amostra pequena.
Para ilustrar, imagine uma fábrica de engarrafamento de água produzindo 10.000 garrafas de água por dia. O gerente da fábrica mede o volume de água em um número grande (digamos 200) de garrafas produzidas naquele dia, e descobre que a média é de 0,997 litros. Neste caso, o gerente da fábrica pode concluir que a média de todas as garrafas naquele dia não é exatamente de 1 litro.
Referências
- Jakob Bernoulli, (Ars Conjectandi: Usum & Applicationem Praecedentis - Doctrinae in Civilibus, Moralibus & Oeconomicis, 1713, Chapter 4, Traduzido p/ o ingles por Oscar Sheynin)
- Hacking, Ian. (1983, 19th-century Cracks in the Concept of Determinism )
- Grimmett, G. R. and Stirzaker, D. R. (1992 Probability and Random Processes, 2nd Edition. Clarendon Press, Oxford. ISBN 0-19-853665-8.)
- Richard Durrett (1995, Probability: Theory and Examples, 2nd Edition. Duxbury Press.)
Ver também
Links relevantes
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