Distribuição de Dirichlet

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Em probabilidade e estatística, a Distribuição de Dirichlet (nome em homenagem á Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet), frequentemente chamada de Dir(α), é um ramo matemático da área das probabilidades que é sempre representado por um vetor α não-negativo e real. Nas multivariáveis representações de uma dada função (Distribuição beta), é antecedente a uma distribuição nas estatísticas Bayesianas; Ou seja, a função de densidade das probabilidades retornam ao estudo de uma função antecedente ( nomeada K), que têm como eventos paralelos a função x_i que significa cada evento dado por \alpha_i-1 vez.

Função de densidade das probabilidades

A função de densidade das probabilidades da distribuição de Dirichlet de ordem K são as seguintes:


f(x_1, \dots, x_K; \alpha_1, \dots, \alpha_K) = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha)} \prod_{i=1}^K x_i^{\alpha_i - 1}


Onde x_i \ge 0\,, \sum_{i=1}^K x_i = 1\,, e \alpha_i > 0\,.

A normalização constante é a multinomial função beta, que podem ser expressos nos termos da função gama:


\mathrm{B}(\alpha) = \frac{\prod_{i=1}^K \Gamma(\alpha_i)}{\Gamma\left(\sum_{i=1}^K \alpha_i\right)}.


Propriedades

se X = (X_1, \ldots, X_K)\sim\operatorname{Dir}(\alpha) e \alpha_0 = \sum_{i=1}^K\alpha_i. então:


\mathrm{E}[X_i|\alpha] = \frac{\alpha_i}{\alpha_0},


\mathrm{Var}[X_i|\alpha] = \frac{\alpha_i (\alpha_0-\alpha_i)}{\alpha_0^2 (\alpha_0+1)},


De fato, essa é uma das propriedades da distribuição beta:


X_i \sim \operatorname{Beta}(\alpha_i, \alpha_0 - \alpha_i).


Além disso:


\mathrm{Cov}[X_iX_j|\alpha] = \frac{- \alpha_i \alpha_j}{\alpha_0^2 (\alpha_0+1)}.


A maneira de distribuição resulta em um vetor (x1, ..., xK) com:


x_i = \frac{\alpha_i - 1}{\alpha_0 - K}, \quad \alpha_i > 1.


A distribuição de Dirichlet é conjugada como uma distribuição multinomial com a seguinte lógica: se


\beta|X=(\beta_1, \ldots, \beta_{K})|X \sim \operatorname{Mult}(X),


Onde βi Sâo ocorrências dos números i na amostra de n Pontos na discreta distribuição de {1, ..., K} definida por X, então:


X | \beta \sim \operatorname{Dir}(\alpha + \beta).


A relação usada nas estatísticas Bayesianas para descobrir o valor das incógnitas, X, de uma distribuição oculta de probrabilidades, dada por n amostras. Intuitivamente, a distribuição prior representada como Dir(α), sendo Dir(α + β) resulta em uma distribuição posterior observadas com o historiograma β.

Neutralidade

se X = (X_1, \ldots, X_K)\sim\operatorname{Dir}(\alpha), então o vetor ~X será neutro<ref>R. J. Connor and J. E. Mosiman 1969. Concepts of independence for proportions with a generalization of the Dirichlet distibution. Journal of the American Statistical Association, volume 64, pp194--206</ref> se o sentido de X_1 for independente de X_2/(1-X_1),X_3/(1-X_1),\ldots,X_K/(1-X_1) e similar à X_2,\ldots,X_{K-1}.

Ver também

Links relevantes

Referências

  1. Disformização variável,por Luc Devroye


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