Diferenças entre edições de "Progressão geométrica"
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*<tex>\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\frac{1}{64},\frac{1}{128},\frac{1}{256},...\right)\,\!</tex>, onde <tex>q=\frac{1}{2}\,\!</tex> | *<tex>\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\frac{1}{64},\frac{1}{128},\frac{1}{256},...\right)\,\!</tex>, onde <tex>q=\frac{1}{2}\,\!</tex> | ||
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A sucessão dos termos é obtida por recursão: | A sucessão dos termos é obtida por recursão: | ||
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É fácil demonstrar por indução matemática que: | É fácil demonstrar por indução matemática que: | ||
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Em alguns contextos (por exemplo, ao usar a linguagem de programação C), pode ser conveniente considerar que o termo inicial da PG tem índice zero (<tex>a_0</tex>). Neste caso, o termo geral fica: | Em alguns contextos (por exemplo, ao usar a linguagem de programação C), pode ser conveniente considerar que o termo inicial da PG tem índice zero (<tex>a_0</tex>). Neste caso, o termo geral fica: | ||
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De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por: | De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por: | ||
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==Soma dos termos de uma P.G.== | ==Soma dos termos de uma P.G.== | ||
A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por: | A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por: | ||
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:<tex>S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i = a_1 + a_2 + \ldots + a_n, ~~n\ge 1</tex>, veja notação de somatório | :<tex>S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i = a_1 + a_2 + \ldots + a_n, ~~n\ge 1</tex>, veja notação de somatório | ||
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=== Demonstração === | === Demonstração === | ||
Essa fórmula pode ser deduzida do seguinte modo. Escreva: | Essa fórmula pode ser deduzida do seguinte modo. Escreva: | ||
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Multiplique por q: | Multiplique por q: | ||
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Subtraia a primeira soma da segunda, cancelando os termos repetidos: | Subtraia a primeira soma da segunda, cancelando os termos repetidos: | ||
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o que é equivalente a: | o que é equivalente a: | ||
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:<tex>\left( q-1 \right) S_n = a_1 \left( q^n - 1 \right) \,</tex> | :<tex>\left( q-1 \right) S_n = a_1 \left( q^n - 1 \right) \,</tex> | ||
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Divida ambas os termos por: :<tex>(q-1)\neq 0</tex> e o resultado segue. | Divida ambas os termos por: :<tex>(q-1)\neq 0</tex> e o resultado segue. | ||
==Soma dos ''infinitos'' termos de uma P.G.== | ==Soma dos ''infinitos'' termos de uma P.G.== | ||
| − | A ''soma'' dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando <tex>|q|<1</tex>. Sua soma é: | + | A ''soma'' dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando |
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:<tex>S_\infty=\sum_{n=0}^{\infty}a_1 q^n=\frac{a_1}{1-q}</tex> | :<tex>S_\infty=\sum_{n=0}^{\infty}a_1 q^n=\frac{a_1}{1-q}</tex> | ||
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Agora, se <tex>q \geq 1</tex> e <tex>a_1>0</tex> então sua soma é '''mais infinito''' e se <tex>q \geq 1</tex> e <tex>a_1<0</tex>, sua soma é '''menos infinito'''. | Agora, se <tex>q \geq 1</tex> e <tex>a_1>0</tex> então sua soma é '''mais infinito''' e se <tex>q \geq 1</tex> e <tex>a_1<0</tex>, sua soma é '''menos infinito'''. | ||
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<tex>S_{\infty}=\left\{\begin{array}{ll} | <tex>S_{\infty}=\left\{\begin{array}{ll} | ||
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0, & a_1=0; | 0, & a_1=0; | ||
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Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Observe cuidadosamente o caso <tex>q\ge-1</tex>, por exemplo. Observe também que <tex>q</tex> pode ser complexo | Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Observe cuidadosamente o caso <tex>q\ge-1</tex>, por exemplo. Observe também que <tex>q</tex> pode ser complexo | ||
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==Produto dos termos de uma P.G.== | ==Produto dos termos de uma P.G.== | ||
O produto dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é dada por: | O produto dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é dada por: | ||
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<tex>P_n=a_1^n.q^{\frac{n.(n-1)}{2}}</tex> | <tex>P_n=a_1^n.q^{\frac{n.(n-1)}{2}}</tex> | ||
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==Classificação das progressões geométricas== | ==Classificação das progressões geométricas== | ||
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O interessante, neste caso, é obter uma fórmula geral para a soma de n termos. | O interessante, neste caso, é obter uma fórmula geral para a soma de n termos. | ||
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| + | ==Links relevantes== | ||
| + | *[http://www.calculadoraonline.com.br/view/progressao-geometrica.php Calculadora de progressão geométrica] | ||
| + | |||
| + | ==Ver também== | ||
| + | *[[Progressão aritmética]] | ||
| + | *[[Número de Fibonacci]] - a sequência de Fibonacci é a soma de duas progressões geométricas | ||
Edição atual desde as 08h18min de 21 de outubro de 2008
Uma progressão geométrica (P.g. ou P.G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante . Esta constante
é chamada razão da progressão geométrica. A letra q foi escolhida por ser inicial da palavra quociente.
Índice
Exemplos
Alguns exemplos de progressão geométrica:
, onde
, onde
, onde
, onde
, onde
Definição por recursão e fórmula do termo geral
Costuma-se denotar por n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial
e sua razão q.
A sucessão dos termos é obtida por recursão:
É fácil demonstrar por indução matemática que:
Em alguns contextos (por exemplo, ao usar a linguagem de programação C), pode ser conveniente considerar que o termo inicial da PG tem índice zero (). Neste caso, o termo geral fica:
De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:
Soma dos termos de uma P.G.
A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por:
, veja notação de somatório
Demonstração
Essa fórmula pode ser deduzida do seguinte modo. Escreva:
Multiplique por q:
Subtraia a primeira soma da segunda, cancelando os termos repetidos:
o que é equivalente a:
Divida ambas os termos por: : e o resultado segue.
Soma dos infinitos termos de uma P.G.
A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando
. Sua soma é:
Agora, se e
então sua soma é mais infinito e se
e
, sua soma é menos infinito.
Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Observe cuidadosamente o caso , por exemplo. Observe também que
pode ser complexo
Produto dos termos de uma P.G.
O produto dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é dada por:
Classificação das progressões geométricas
As P.G. podem ser classificadas em cinco grupos conforme o valor de q.
Progressão geométrica constante
Uma progressão geométrica constante é toda progressão geométrica em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão q tem que, caso a1 diferente de 0(zero), ser sempre 1 ou 0 (nulo).
Exemplos de progressão geométrica constante:
- P.g.(1,1,1,1,1,1,1,1,1,...) - razão q = 1
- P.g.(0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão nula ou indeterminada
Progressão geométrica crescente
Uma progressão geométrica crescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre positiva e maior que 1.
Exemplos de progressão geométrica crescente:
- P.G. (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,...) - razão q = 2
- P.G. (2,6,18,54,162,486,1458,4374,13122,...) - razão q = 3
Progressão geométrica decrescente
Uma progressão geométrica decrescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre positiva e diferente de zero.
Exemplos de progressão geométrica decrescente:
- P.G. (-1,-2,-4,-8,-16,-32,-64,-128,-256,-512,-1024,-2048,-4096,...) - razão q = 2
- P.G. (8,4,2,1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...) - razão q = 1/2
Progressão geométrica oscilante
Uma progressão geométrica oscilante (ou alternante) é toda progressão geométrica em que todos os termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos tem sempre sinais opostos, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre negativa e diferente de zero.
Exemplos de progressão geométrica oscilante:
- P.G. (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...) - razão q = -2
- P.G. (1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,...) - razão q = -1
Progressão geométrica quase nula
Uma progressão geométrica quase nula é toda progressão geométrica em que o primeiro termo é diferente de zero e todos os demais são iguais a zero, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre igual a zero.
Exemplos de progressão geométrica quase nula:
- P.G. (8,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão q = 0
- P.G. (-169,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão q = 0
Progressão Aritmética Geométrica
Uma progressão aritmética geométrica é o produto de uma progressão aritmética por uma progressão geométrica.
O interessante, neste caso, é obter uma fórmula geral para a soma de n termos.
Links relevantes
Ver também
- Progressão aritmética
- Número de Fibonacci - a sequência de Fibonacci é a soma de duas progressões geométricas
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